Sifat-sifat Operasi Dasar Matematika

Sebelum kita belajar tentang Sifat-sifat Operasi Dasar Matematika, terlebih dahulu kita akan belajar beberapa hal yaitu tentang kelompok bilangan, cara menulis perkalian dan pembagian, mengali dan membagi dengan nol, serta simbol-simbol umum matematika.

Dalam mengerjakan soal-soal matematika dasar, kita juga akan bekerja dengan beragam kelompok bilangan. Lebih banyak kita mengetahui kelompok-kelompok bilangan ini, maka akan lebih mudah bagi kita memahami dan mengerjakannya.

• Bilangan asli: 1, 2, 3, 4, ...
• Bilangan cacah: 0, 1, 2, 3, ...
• Bilangan ganjil: bilangan cacah yang tidak bisa dibagi 2: 1, 3, 5, 7, 9, ...
• Bilangan genap: bilangan cacah yang dapat dibagi 2: 0, 2, 4, 6, ...
• Bilangan bulat: ... -2, -1, 0, 1, 2, ...
• Bilangan bulat negetif: ... -3, -2, -1
• Bilangan bulat positif: bilangan asli
• Bilangan rasional: Pecahan, seperti 3/5 atau 7/8. Semua bilangan bulat merupakan bilangan rasional; sebagai contoh, bilangan 5 dapat ditulis dengan 5/1. Sebua bilangan rasional bisa ditulis sebagai pecahan a/b, dengan a bilangan bulat dan b bilangan asli. Bilangan desimal yang berakhir (seperti 0,5) dan bilangan desimal berulang (seperti 0,3333...) juga merupakan bilangan rasional karena bisa ditulis dalam bentuk pecahan.
• Bilangan irasional: bilangan-bilangan yang tidak bisa ditulis sebagai pecahan a/b, dengan a bilangan bulat, dan b bilangan asli. √3 dan 𝝿 (huruf Yunani untu Pi) merupakan contoh bilangan irasional.

Cara-cara menulis perkalian dan pembagian.

Beberapa operasi bisa ditulis dalam beragam bentuk. Kita harus memahami beragam bentuk yang ada. Ada beberapa cara menulis perkalian.

• Tanda kali: 4 x 3 = 12
• Titik kali: 4 . 3 = 12
• Dua pasang tanda kurung: (4)(3) = 12
• Satu pasang tanda kurung: 4(3) = 12 atau (4)3 = 12
• Sebuah bilangan diikuti sebuah peubah (huruf): 3a berarti 3 dikali a
• Dua peubah (huruf) yang saling berdekatan: ab berarti a dikali b.

Ada beberapa cara untuk menulis pembagian

• Tanda bagi: 10 : 2 = 5
• Garis bagi: ¹⁰/₂ = 5

Mengali dan Membagi dengan Nol

Nol dikali semua bilangan hasilnya adalah Nol

0 x 2 = 0

8 x 2 x 3 x 6 x 0 = 0

Demikian juga jika Nol dibagi semua bilangan, hasilnya juga nol.

0 : 3 = 0

⁰/₇  = 0

Catatan: Membagi dengan nol tidak  terdefinisikan dan tidak diperbolehkan. Sebagai contoh ⁴/₀ (dibaca 4 dibagi nol) tidak terdefinisikan karena tidak ada jawabannya. dan jawabannya bukanlah nol.

Simbol-simbol umum matematika

Simbol-simbol berikut ini umum digunakan untuk matematika dasar dan aljabar. Pastikan memahami maksud dari simbol-simbol dibawah ini;

= sama dengan

≠ tidak sama dengan

> lebih dari

< kurang dari

≥ lebih atau sama dengan

≤ kurang dari atau sama dengan

≱ tidak lebih dari

≰ tidak kurang dari

≈ kira-kira sama dengan (beberapa buku luar negeri menuliskan ≐)

Sifat-sifat Operasi Dasar Matematika

Beberapa operasi matematika mempunyai sifat-sifat yang membuatnya lebih mudah untuk dikerjakan sehingga menghemat waktu yang kita miliki.

Beberapa sifat (aksioma) Penjumlahan

1. Tertutup, yaitu jika semua jawaban menjadi anggota himpunan aslinya. Jika kita menjumlahkan dua bilangan genap, jawabannya masih berupa bilangan genap (2 + 4 = 6); maka himpunan bilangan genap tertutup dalam operasi penjumlahan. Jika kita menjumlahkan dua bilangan ganjil, jawabannya pasti bukan berupa bilangan ganjil (3 + 5 = 8); maka himpunan bilangan ganjil tidak tertutup dalam operasi penjumlahan.

2. Komutatif: berarti urutan tidak memengaruhi hasil penjumlahan; 

2 + 1 = 1 + 2 
(a + b = b + a)

Catatan: Sifat komutatif tidak berlaku untuk pengurangan.

3 - 2 ≠ 2 - 3
a - b ≠ b - a

 3. Asosiatif, berarti penglompokkan tidak memengaruhi penjumlahan

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
(a + b) + c = a + (b + c)

4. Unsur Identitas penjumlahan yaitu 0. Setiap bilangan yang dijumlahkan dengan 0 akan menghasilkan bilangan itu sendiri.

5 + 0 = 5
a + 0 = a

5. Inverse penjumlahan merupakan lawan (negatif) bilangan. Setiapbilangan ditambah inverse penjumlahannya, hasilnya sama dengan 0 (identitas).

3 + (-3) = 0; maka, 3 dan -3 merupakan inverse penjumlahan
-4 + 4 = 0;  maka, -4 dan 4 merupakan inverse penjumlahan
a + (-a) = 0; maka, a dan -a merupakan inverse penjumlahan

Beberapa Sifat (aksioma) Perkalian

1. Tertutup, yaitu jika semua jawaban menjadi anggota himpunan aslinya. Jika kita mengalikan dua bilangan  genap jawabannya masih berupa bilangan genap (2 x 4 = 8); maka, himpunan bilangan genap tertutup dalam operasi perkalian. Jika kita mengalikan dua bilangan ganjil, jawabannya yaitu bilangan ganjil (3 x 5 = 15); maka, himpunan bilangan ganjil tertutup dalam operasi perkalian.

2. Komutatif, berarti urutan tidak mempengaruhi hasil perkalian.
4 x 3 = 3 x 4
a x b = b x a

Catatan; Sifat komutatif tidak berlaku untuk pembagian.
12 : 4 ≠ 4 : 12

3. Asosiatif, berarti pengelompokkan tidak mempengaruhi hasil perkalian.

(2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4)
(a x b) x c = a x (b x c)

Pengelompokan telah berubah (tanda kurung berpindah tempat), tetapi kedua sisi masih tetap sama nilainya.
Catatan; Sifat asosiatif tidak berlaku untuk pembagian.
(8 : 4 ) : 2  ≠ 8 : (4 : 2)

4. Unsur identitas perkalian yaitu 1. Setiap bilangan yang dikalikan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

5 x 1 = 5
6 x 1 = 6
a x a = a

5. Inverse perkalian merupakan kebalikan bilangan itu. Setiap bilangan yang dikalikan dengan kebalikannya, hasilnya sama dengan 1.
2 x ¹/₂ = 1; maka, 2 dan ¹/₂ merupakan inverse perkalian, atau kebalikan

a x  ¹/_a = 1; maka, a dan ¹/_a merupakan inverse perkalian atau kebalikan (ini berarti a ≠ 0)

Sifat Dua Operasi
Sifat distributif yaitu proses penyebaran bilangan diluar tanda kurung ke dalam bilangan yang ada dalam tanda kurung.

2 (3 + 4) = 2 (3) + 2 (4)
a (b+c) = a (b) + a (c)

Catatan; Kita tidak bisa menggunakan sifat distributuf hanya dengan satu operasi.

3 ( 4 x 5 x 6) ≠ 3 (4) x 3 (5) x 3 (6)
a ( bcd) ≠ a(b) x a (c) x a (d) atau (ab) (ac) (ad)

Simbol Pengelompokkan dan Urutan Operasi
Ada tiga jenis simbol pengelompokkan yang bisa digunakan, yaitu kurung biasa ( ), kurung persegi [ ], dan kurung kurawal { }. Ketiga jenis tanda kurung ini digunakan untuk mengelompokan bilangan atau peubah (huruf). Simbol pengelompokkan yang paling sering digunakan adalah  kurung biasa. Semua operasi didalam kurung biasa ini dikerjakan sebelum operasi yang lain.
Contoh 1:
Sederhanakanlah 4 (3 + 5)
4 (3 + 5) = 4 (8)
= 32

Contoh 2:
(2 + 5) (3 + 4)
(2 + 5( (3 + 4 ) = (7) (7)
= 49

Sedangkan untuk kurung persegi dan kurung kurawal jarang digunakan dan harus digunakan setelah kurung biasa. Urutan penggunaan simbol pengelompokkan adalah kurung biasa, kurung persegi, dan kurung kurawal: {[( )]}. Kadang, selain menggunakan kurung persegi atau kurung kurawal, kita juga bisa menggunakan kurung biasa yang diulang.
Contoh 3:
Sederhanakanlah ((2 + 3) x 4) + 1
((2 + 3) x 4) + 1 = ((5) x 4) + 1
= (20) + 1
= 21

Suatu pernyataan yang menggunakan ketiga simbol pengelompokan tersebut terlihat sebagai berikut;
2 {1 + [4(2 + 1) + 3]}.

Contoh 4;
Sederhanakanlah 2 (1 +{4 + 1) + 3]}
Yang perlu diperhatikan adalah bahwa kita akan mengerjakan dari dalam keluar.
2 (1 +{4 + 1) + 3]} = 2 {1 + [4 (3)+ 3]}
= 2 {1 + [12 + 3]}
= 2 {1 + [15]}
= 2 {16}
= 32